Question

已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=

cosπx，x∈[0， 1 2 ] 2x-1，x∈( 1 2 ，+∞)

，则不等式f（x）≤

1

2

的解集为（　　）

• A、[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]
• C、[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]
• D、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：因为函数f（x）是偶函数，所以只需要解出当x≥0时的x的范围，然后根据偶函数的性质即可得到不等式在R上的解集．

解答： 解：当x∈[0，

1

2

]时，由cosπx≤

1

2

得cosπx≤cos

π

3

，结合余弦函数的单调性可知πx≥

π

3

，解得

1

3

≤x≤

1

2

；
当x∈(

1

2

，+∞)时，由2x-1≤

1

2

得

1

2

＜x≤

3

4

，
综上，当x≥0时，f（x）≤

1

2

的解集为[

1

3

，

3

4

]．
又因为f（x）为偶函数，所以区间[-

3

4

，-

1

3

]也满足不等式．
故原不等式的解集为[-

3

4

，-

1

3

]∪[

1

3

，

3

4

]．
故选：D．

点评：本题考查了分段函数有关的不等式的解法，以及偶函数的性质在解不等式时的应用．