Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

1

2

，a_n+1=

3an

an+3

，则a₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件利用递推公式求出数列的前5项，由此猜想a_n=

3

n+5

．再用数学归纳法证明，由此能求出a₂₀₁₅．

解答： 解：∵a₁=

1

2

，a_n+1=

3an

an+3

，
∴a2=

3× 1 2

1 2 +3

=

3

7

，
a₃=

3× 3 7

3 7 +3

=

3

8

，
a₄=

3× 3 8

3 8 +3

=

1

3

，
a5=

3× 1 3

1 3 +3

=

3

10

，
由此猜想，a_n=

3

n+5

．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=

3

1+5

=

1

2

，成立．
②假设n=k时，成立，即a_k=

3

k+5

，
当n=k+1时，ak+1=

3× 3 k+5

3 k+5 +3

=

9

3+3(k+5)

=

3

(k+1)+5

，也成立．
由①②，得a_n=

3

n+5

．
∴a2015=

3

2020

．
故答案为：

3

2020

．

点评：本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想和数学归纳法的合理运用．