甲.乙两学校各派出3名队员.按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛.双方先由1号队员进行第一局比赛.负者被淘汰.胜者再与负方2号队员进行第二局比赛.-.直到一方队员全被淘汰为止.已知甲队的1号与乙队的1.2.3号队员比赛获胜的概率分别为$\frac{3}{4}$.$\frac{2}{3}$.$\frac{1}{2}$.甲队的2号与乙队的1.2.3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．甲、乙两学校各派出3名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员进行第一局比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员进行第二局比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的1号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，甲队的2号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$
（1）在所有的比赛过程中，甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛的概率；
（2）在所有的比赛过程中，将甲队1号、2号队员一共参加了的比赛的局数作为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望．

分析（1）利用相互独立事件的概率计算公式计算甲队1，2号队员都输给乙队1号队员的概率；
（2）根据相互独立事件的概率乘法公式计算ξ分别取2，3，4的概率，得出分布列，再计算数学期望．

解答解：（1）若甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛，则甲队的1，2号队员均输给乙队的1号队员，
∴P=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$．
（2）ξ可能的取值为2，3，4．
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$；
P（ξ=4）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{11}{24}$

∴E（ξ）=2×$\frac{1}{12}$+3×$\frac{11}{24}$+4×$\frac{11}{24}$=$\frac{27}{8}$．

点评本题考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．

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