Question

4．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且|F₁F₂|=2$\sqrt{13}$，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，则双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$

Answer 1

分析 根据半焦距c=$\sqrt{13}$，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴a-4，由离心率之比求出a，进而求出双曲线的实半轴长，由隐含条件求得虚半轴的长，则双曲线的标准方程可求．

解答 解：由题意知，半焦距c=$\sqrt{13}$，
设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴a-4，
离心率之比为$\frac{3}{7}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{a}}{\frac{\sqrt{13}}{a-4}}$，解得a=7，
∴双曲线的实半轴长为7-4=3，虚半轴的长为$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{3}^{2}}=2$，
则双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故选：A．

点评 本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程和几何性质，考查计算能力，是中档题．