Question

15．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，下面结论错误的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小周期为$\frac{2π}{3}$
• B． 图象f（x）的图象可由g（x）=Acos（ωx）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到
• C． 函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称
• D． 函数f（x）在区间（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增

Answer 1

分析 由函数图象可求函数的周期，利用正确公式可求ω，又由题图可知f（$\frac{7π}{12}$）=Acos（φ-$\frac{1}{4}$π）=0，利用五点作图法可φ，从而可得函数解析式，令3x+$\frac{7π}{4}$=kπ，k∈Z，可解得函数的对称轴方程，令2kπ-π≤3x+$\frac{7π}{4}$≤2kπ，k∈Z，可解得函数的单调递增区间，即可逐一判断各个选项，从而得解．

解答 解：∵由题意可知，此函数的周期T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{7π}{12}$）=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得：ω=3，可得：f（x）=Acos（3x+φ）．
又∵由题图可知f（$\frac{7π}{12}$）=Acos（3×$\frac{7π}{12}$+φ）=Acos（φ-$\frac{1}{4}$π）=0，
∴利用五点作图法可得：φ-$\frac{1}{4}$π=$\frac{3π}{2}$，解得：φ=$\frac{7π}{4}$，
∴f（x）=Acos（3x+$\frac{7π}{4}$）．
∴令3x+$\frac{7π}{4}$=kπ，k∈Z，可解得函数的对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{3}$-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
令2kπ-π≤3x+$\frac{7π}{4}$≤2kπ，k∈Z，可解得：$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{11π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
故函数的单调递增区间为：[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{11π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
∴对于A，函数f（x）的最小周期为$\frac{2π}{3}$，故A正确；
对于B，因为g（x）=Acos3x的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到y=Acos[3（x-$\frac{π}{12}$）]=Acos（3x-$\frac{π}{4}$）=Acos（3x-$\frac{π}{4}$）=Acos（3x+$\frac{7π}{4}$）=f（x），故B正确；
对于C，因为函数的对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{3}$-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，令k=2，可得函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，故C正确；
对于D，因为函数的单调递增区间为：[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{11π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{7π}{12}$]，k∈Z，令k=2，可得函数单调递增区间为：[$\frac{5π}{12}$，$\frac{3π}{2}$]，故函数f（x）在区间（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上不单调递增，故D错误．
故选：D．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，余弦函数的图象和性质，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，属于中档题．