Question

15．设函数f（x）=（C${\;}_{10}^{1}$x+1）（C${\;}_{10}^{2}$x+1）…（C${\;}_{10}^{7}$x+1）（C${\;}_{10}^{8}$x+1），则f′（0）=1012（用数字作答）

Answer 1

分析 将f（x）两边取自然对数，根据对数的运算性质，将其化简为lnf（x）=ln（C${\;}_{10}^{1}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{2}$x+1）+…+ln（C${\;}_{10}^{7}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{8}$x+1），两边对x求导，
化简整理求得f′（x）的解析式，将x=0，代入求得f′（0）=（C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$），根据二项式定理求得f′（0）的值．

解答 解：两边取自然对数得：lnf（x）=ln（C${\;}_{10}^{1}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{2}$x+1）+…+ln（C${\;}_{10}^{7}$x+1）+ln（C${\;}_{10}^{8}$x+1），
两边对x取导数得$\frac{f′（x）}{f（x）}$=$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{10}^{1}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{10}^{2}x+1}$+…+$\frac{{C}_{10}^{7}}{{C}_{10}^{7}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{8}}{{C}_{10}^{8}x+1}$，
故f′（x）=（$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{10}^{1}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{10}^{2}x+1}$+…+$\frac{{C}_{10}^{7}}{{C}_{10}^{7}x+1}$+$\frac{{C}_{10}^{8}}{{C}_{10}^{8}x+1}$）×f（x）
∴f′（0）=（C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$）×f（0），
f′（0）=（C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$），f（0）=1，
故f′（0）=C${\;}_{10}^{1}$+C${\;}_{10}^{2}$+…+C${\;}_{10}^{7}$+C${\;}_{10}^{8}$=2¹⁰-${C}_{10}^{0}$-${C}_{10}^{9}$-${C}_{10}^{10}$=1012．
故答案为：1012．

点评 本题考查求函数的导数及二项式定理，技巧性较强，要求熟练掌握求函数导数的方法，属于中档题．