Question

19．目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响，我校随机抽取100名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如表所示：

	善于使用学案	不善于使用学案	总计
学习成绩优秀	40
学习成绩一般		30
总计			100

参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是0.6．
（1）请将上表补充完整（不用写计算过程）；
（2）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关？
（3）利用分层抽样的方法从善于使用学案的同学中随机抽取6人，从这6人中抽出3人继续调查，设抽出学习成绩优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）

	善于使用学案	不善于使用学案	总计
学习成绩优秀	40	10	50
学习成绩一般	20	30	50
总计	60	40	100

（2）由上表可得：利用独立性检验公式可得k²，即可得出结论．
（3）利用分层抽样的方法抽出成绩优秀的同学4人，一般的2人．从这6人中随机的抽出3人学习成绩优秀的人数X的取值为1，2，3．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{3-k}}{{∁}_{6}^{3}}$即可得出．

解答 解：（1）

	善于使用学案	不善于使用学案	总计
学习成绩优秀	40	10	50
学习成绩一般	20	30	50
总计	60	40	100

（2）由上表可得：k²=$\frac{100×（40×30-20×10）^{2}}{50×50×60×40}$=16，667＞10.828，故有99.9%的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关．
（3）利用分层抽样的方法抽出成绩优秀的同学4人，一般的2人．从这6人中随机的抽出3人学习成绩优秀的人数X的取值为1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{3-k}}{{∁}_{6}^{3}}$，则P（X=1）=$\frac{1}{5}$，P（X=2）=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{1}{5}$．
其分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（X）=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查了独立性检验原理、分层抽样、超几何分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．