Question

已知F₁，F₂分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F₁P为直径的圆经过F₂，·＝a².直线l经过F₁，与椭圆E交于A，B两点，F₂与A，B两点构成△ABF₂.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)设△F₁PF₂的周长为2＋，求△ABF₂的面积S的最大值．

Answer 1

解：(1)∵F₁，F₂分别是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F₁P为直径的圆经过F₂，∴PF₂⊥x轴．

∴|PF₂|＝.

∴|PF₂|²＝a²，即＝a.

∴a²＝4b²，即a²＝4(a²－c²)，化简得3a²＝4c²，

所以＝.

∴椭圆E的离心率等于.

(2)∵△F₁PF₂的周长为2＋，

∴2a＋2c＝2＋.

解方程组

∴b²＝.

∴椭圆E的方程为x²＋4y²＝1.

当直线l斜率不存在时，△ABF₂的面积

S＝××2c＝.

当直线l斜率存在时，设斜率为k，由F₂与A，B两点构成△ABF₂，得k≠0.

由已知得直线l的方程为y＝k，即2kx－2y＋k＝0.

∴F₂到直线l的距离d＝

由得(1＋4k²)x²＋4k²x＋3k²－1＝0.

∴△ABF₂的面积S的最大值为.

又∵>，

综上，△ABF₂的面积S的最大值为.