Question

【题目】已知椭圆：的右焦点为，过作互相垂直的两条直线分别与相交于，和，四点.

（1）四边形能否成为平行四边形，请说明理由；

（2）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析.

（2）.

【解析】

试题分析：（1）若四边形为平行四边形，则四边形为菱形, ∴与在点处互相平分，又的坐标为显然这时不是平行四边形．

（2）直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为,与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理及弦长公式，

令,则．考虑当直线的斜率不存在时和直线的斜率为零时情况得到的最小值

试题解析：设点

(Ⅰ)若四边形为平行四边形，则四边形为菱形，

∴与在点处互相平分，又F的坐标为,由椭圆的对称性知垂直于轴，则垂直于轴，

显然这时不是平行四边形．

∴四边形不可能成为平行四边形.

(Ⅱ) 当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为

由消去得，

∴

∴同理得，.∴，

令,则．

当直线的斜率不存在时，则

当直线的斜率为零时，则

,∴的最小值为.