Question

3．已知函数$f（x）=cos（2x+\frac{π}{6}）+cos（2x-\frac{π}{6}）+2sinxcosx+1$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-m在区间$[0，\frac{π}{3}]$上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用查三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域，根据f（x）的图象和直线y=m在区间$[0，\frac{π}{3}]$上有两个不同的交点，结合f（x）的图象求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意得，$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x+sin2x+1$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x+1=2sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，
故函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，求得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}（k∈Z）$，
∴函数f（x）单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤π$，∴$0≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，∴1≤f（x）≤3，
由函数g（x）=f（x）-m在区间$[0，\frac{π}{3}]$上有两个不同的零点，
可知f（x）=m在区间$[0，\frac{π}{3}]$内有两个相异的实根，
即y=f（x）图象与y=m的图象有两个不同的交点．
在区间$[0，\frac{π}{3}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[1，3]，
结合图象可知，当$\sqrt{3}+1≤m＜3$时，两图象有两个不同的交点，
∴实数m的取值范围是$[\sqrt{3}+1，3）$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象，属于中档题．