Question

1．已知函数f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x．．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{8}$]，求f（x）的最大值及取最大值时的x值．

Answer 1

分析 利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．
（Ⅰ）直接利用周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得单调减区间；
（Ⅱ）由x的范围求出相位的范围，求得函数的最大值，进一步得到f（x）取最大值时的x值．

解答 解：f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x=sin2xcos2x+$\frac{1}{2}cos4x$
=$\frac{1}{2}sin4x+\frac{1}{2}cos4x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（4x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{16}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{5π}{16}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{16}+\frac{kπ}{2}，\frac{5π}{16}+\frac{kπ}{2}$]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{8}$]，∴$4x+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，
∴当4x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{16}$时，$f（x）_{max}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查倍角公式及两角和的正弦，是中档题．