【题目】已知函数,记
为
的导函数.
(1)若的极大值为
,求实数
的值;
(2)若函数,求
在
上取到最大值时
的值;
(3)若关于的不等式
在
上有解,求满足条件的正整数
的集合.
【答案】(1);(2)
时,
;
时,
;(3)
.
【解析】分析:(1)利用导数求函数的极大值,再解方程f (x)极大值=0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间,再求函数的最大值. (3) 设h (x)=f(x)-f ′(x)=2x3-3(a+2)x2
+6ax+3a-2,先把问题转化为h (x)≥0在有解,再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.
详解:(1)因为f (x)=2x3-3ax2+3a-2(a>0),
所以f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).
令f'(x)=0,得x=0或a.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f (x)单调递增;
当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f (x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f (x)单调递增.
故f (x)极大值=f (0)=3a-2=0,解得a=.
(2)g (x)=f (x)+6x=2x3-3ax2+6x+3a-2(a>0),
则g′(x)=6x2-6ax+6=6(x2-ax+1),x∈[0,1].
①当0<a≤2时,△=36(a2-4)≤0,
所以g′(x)≥0恒成立,g (x)在[0,1]上单调递增,
则g (x)取得最大值时x的值为1.
②当a>2时,g′(x)的对称轴x=>1,且△=36(a2-4)>0,g′(1)=6(2-a)<0,g′(0)=6>0,
所以g′(x)在(0,1)上存在唯一零点x0=.
当x∈(0,x0)时,g′(x)>0,g (x)单调递增,
当x∈(x0,1)时,g′(x)<0,g (x)单调递减,
则g (x)取得最大值时x的值为x0=.
综上,当0<a≤2时,g (x)取得最大值时x的值为1;
当a>2时,g (x)取得最大值时x的值为.
(3)设h (x)=f (x)-f ′(x)=2x3-3(a+2)x2+6ax+3a-2,
则h (x)≥0在有解.
h′(x)=6[x2-(a+2)x+a]=6,
因为h′(x)在上单调递减,
因为h′(x)<h′()=-
a2<0,
所以h (x)在上单调递减,
所以h()≥0,即a3-3a2-6a+4≤0.
设t (a)=a3-3a2-6a+4(a>0),则t′ (a)=3a2-6a-6,
当a∈(0,1+)时,t′ (a)<0,t (a)单调递减;
当a∈(1+,+∞)时,t′ (a)>0,t(a)单调递增.
因为t (0)=4>0,t (1)=-4<0,所以t (a)存在一个零点m∈(0,1),
因为t (4)=-4<0,t (5)=24>0,所以t (a)存在一个零点n∈(4,5),
所以t (a)≤0的解集为[m,n],
故满足条件的正整数a的集合为{1,2,3,4}.
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【题目】如图:椭圆的顶点为
,左右焦点分别为
,
,
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点的直线
与椭圆
相交于
两点,试探究在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在求出点
的坐标,若不存在请说明理由?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,焦距为
,点
为椭圆上一点,
,
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆的上顶点,过椭圆内一点
的直线
交椭圆于
两点,若
与
的面积比为
,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在等腰梯形中,
为
的中点,
,
,
,现在沿
将
折起使点
到点P处,得到三棱锥
,且平面
平面
.
(1)棱上是否存在一点
,使得
平面
?请说明你的结论;
(2)求证:平面
;
(3)求点到平面
的距离.
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【题目】在平面直角坐标系中,锐角
的顶点为坐标原点
,始边为
轴的正半轴,终边与单位圆
的交点分别为
.已知点
的横坐标为
,点
的纵坐标为
.
(1)求的值;
(2)求的值.
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【题目】过抛物线:
的焦点
做直线
交抛物线于
,
两点,
的最小值为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过,
分别做抛物线
的切线,两切线交于点
,且直线
,
分别与
轴交于点
,
,记
和
的面积分别为
和
,求证:
为定值.
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【题目】如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
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【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足。
(1)求证:A,B,C三点共线;
(2)若A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x∈[0, ],函数f(x)=
(2m+
)|
|+m2的最小值为5,求实数m的值。
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