Question

7．已知圆C₁：x²+y²=r²（r＞0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0），点（$\sqrt{2}$，-2）是圆C₁与抛物线C₂准线l的一个交点．
（1）求圆C₁与抛物线C₂的方程；
（2）若点M是直线l上的动点，过点M作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A、B，直线AB与圆C₁交于点E、F，求$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用直线和圆的位置关系、抛物线的几何性质，求得圆及抛物线的方程．
（2）利用导数的几何意义求得MA、MB的方程，可得AB的方程，把AB的方程代入圆的方程，利用韦达定理以及两个向量的数量积的运算法则，求得$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$的解析式，可得$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$的范围．

解答 解：（1）∵圆C₁：x²+y²=r²（r＞0），抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线为y=-$\frac{p}{2}$，
点（$\sqrt{2}$，-2）是圆C₁与抛物线C₂准线l的一个交点，
∴-$\frac{p}{2}$=-2，∴p=4，抛物线C₂：x²=2py，即x²=8y．
再根据r=$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{+（-2）}^{2}}$=$\sqrt{6}$，可得圆C₁：x²+y²=6．
（2）若点M是直线l上的动点，设点M（t，-2），A （x₁，y₁）、B（x₂，y₂），E（x₃，y₃）、F（x₄，y₄），
抛物线C₂：x²=8y（p＞0），即y=$\frac{{x}^{2}}{8}$，y′=$\frac{x}{4}$，故AM的方程为y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{4}$（x-x₁），
把（t，-2）代入，可得y₁=$\frac{t}{4}$x₁+2．
同理可得，BM的方程为y₂=$\frac{t}{4}$x₂+2，∴直线AB的方程为y=$\frac{t}{4}$x+2．
把AB的方程代入圆圆C₁：x²+y²=6，可得（1+$\frac{{t}^{2}}{16}$）x²+tx-2=0，
由题意可得△＞0，x₃+x₄=-$\frac{16t}{16{+t}^{2}}$，x₃•x₄=-$\frac{32}{16{+t}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=x₃•x₄+y₃•y₄=（1+$\frac{{t}^{2}}{16}$）x₃•x₄+$\frac{t}{2}$（x₃+x₄ ）+4
=（1+$\frac{{t}^{2}}{16}$）•（-$\frac{32}{16{+t}^{2}}$）+$\frac{t}{2}$•（-$\frac{16t}{16{+t}^{2}}$ ）+4=$\frac{128}{16{+t}^{2}}$-6，
∵0＜$\frac{128}{16{+t}^{2}}$≤8，∴$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$的范围为（-6，2]．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系、抛物线的几何性质，导数的几何意义，两个向量的数量积的运算，韦达定理，属于中档题．