Question

18．已知$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（{α-β}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，α，β$均为锐角，则cos2β=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角差的正弦函数公式化简可得cosβ-2sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
两边平方，整理可得：10sin²β-4$\sqrt{2}$sinβ-1=0，从而解得sinβ，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（{α-β}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，α，β$均为锐角，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosβ-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinβ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，整理可得：cosβ-2sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴两边平方，整理可得：10sin²β-4$\sqrt{2}$sinβ-1=0，
∴解得：sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{10}$（舍去），
∴cos2β=1-2sin²β=1-2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=0．
故选：C．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．