Question

12．对任意x＞0，不等式x+$\frac{1}{x+2a}$＞a恒成立，则实数a的取值范围是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 令f（x）=x-a+$\frac{1}{x+2a}$（x＞0），f′（x）=$\frac{[x-（-2a-1）][x-（-2a+1）]}{（x+2a）^{2}}$，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：令f（x）=x-a+$\frac{1}{x+2a}$（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{1}{（x+2a）^{2}}$=$\frac{[x-（-2a-1）][x-（-2a+1）]}{（x+2a）^{2}}$，
当a≥$\frac{1}{2}$时，0＞-2a+1＞-2a-1，∴f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=-a+$\frac{1}{2a}$≥0，解得$\frac{1}{2}≤a≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当$-\frac{1}{2}≤a＜\frac{1}{2}$时，-2a+1＞0＞-2a-1，∴x=-2a+1时，此时函数f（x）取得极小值即最小值，∴f（x）≥f（-2a+1）=-3a+1+1＞0，解得$-\frac{1}{2}≤a＜\frac{1}{2}$．
当$a＜-\frac{1}{2}$时，-2a+1＞-2a-1＞0，∴函数f（x）在（0，-2a-1）内单调递增，在（-2a-1，-2a+1）内单调递减，在（-2a+1，+∞）内单调递增．
∴必有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a+\frac{1}{2a}≥0}\\{f（-2a+1）≥0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a$＜-\frac{1}{2}$．
综上可得：实数a的取值范围是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
故答案为：$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．