Question

1．直线l过点P（4，1），且在x轴与y轴上的截距分别为a，b．
（1）若a＞0，b＞0，求ab取得最小值时的直线l的方程；
（2）若a＞0，b＞0，求a+b取得最小值时的直线l的方程；
（3）求点P到直线（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0的最大距离．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，把点P（4，1）代入可得：$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$=1，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由（1）可得：a+b=（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{1}{b}）$=5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}$，再利用基本不等式的性质即可得出．
（3）由直线（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0化为：m（2x+y-1）+（-x+3y+11）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-1=0}\\{-x+3y+11=0}\end{array}\right.$，解出可得此直线经过定点M．可得：点P到直线（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0的最大距离=|PQ|．

解答 解：（1）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，把点P（4，1）代入可得：$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$=1，∵a＞0，b＞0，∴1≥2$\sqrt{\frac{4}{a}×\frac{1}{b}}$，化为：ab≥16，当且仅当a=4b=8时取等号．
此时直线l的方程为：$\frac{x}{8}+\frac{y}{2}$=1，化为：x+4y-8=0．
（2）由（1）可得：a+b=（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{1}{b}）$=5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}×\frac{a}{b}}$=9，当且仅当a=2b=6时取等号，此时直线l的方程为：$\frac{x}{6}+\frac{y}{3}$=1，化为x+2y-6=0．
（3）由直线（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0化为：m（2x+y-1）+（-x+3y+11）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-1=0}\\{-x+3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，∴此直线经过定点M（2，-3）．
∴点P到直线（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0的最大距离=|PM|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（1+4）^{2}}$=$\sqrt{29}$．

点评 本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．