Question

17．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（　　）

• A． $\frac{2-ln4}{4}$
• B． $\frac{3-2ln4}{4}$
• C． $\frac{1+ln4}{4}$
• D． $\frac{1+2ln4}{4}$

Answer 1

分析 由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出Ω={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤4}\\{0≤y≤4}\end{array}\right.$}表示的平面区域，把xy∈[0，4]转化为0≤y≤$\frac{4}{x}$，求出满足0≤y≤$\frac{4}{x}$的区域面积，计算所求的概率值．

解答 解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），
则Ω={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤4}\\{0≤y≤4}\end{array}\right.$}，
它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为4²=16；
xy∈[0，4]转化为0≤y≤$\frac{4}{x}$，如图所示；

且满足0≤y≤$\frac{4}{x}$的区域面积是：
16-${∫}_{1}^{4}$（4-$\frac{4}{x}$）dx=16-（4x-4lnx）${|}_{1}^{4}$=4+4ln4，
则xy∈[0，4]的概率为：
P=$\frac{4+4ln4}{16}$=$\frac{1+ln4}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了几何概型的计算问题，熟练掌握几何概率模型的特征是解题的关键．