Question

1．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 $\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（ t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求A，B两点之间的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据x²+y²=ρ，求出曲线C的直角坐标方程即可，消去t，求出直线l的普通方程即可；
（Ⅱ）联立直线和曲线的方程，求出交点的坐标，求出距离即可．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程是ρ=1，且x²+y²=ρ，
∴曲线C的直角坐标方程为：x²+y²=1，
由直线l的参数方程为 $\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（ t为参数），
得直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=1}\\{y=\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
故|AB|=$\sqrt{{（1-\frac{3}{2}）}^{2}{+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=1．

点评 本题考查了极坐标方程、参数方程以及普通方程的关系，考查直线和曲线的交点问题，是一道中档题．