Question

已知函数f（x）=x+4

x

+4（x≥0），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
（1）求证：数列{

an

}为等差数列；
（2）若c_n=

an

•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x+4

x

+4=(

x

+2)2（x≥0），
∴a_n+1=f（a_n）=(

an

+2)2，即

an+1

-

an

=2 （n∈N*）．
∴数列{

an

}是以

a1

=1为首项，公差为2的等差数列．…（4分）
（2）由（Ⅰ）得：

an

=1+（n-1）2=2n-1，即 a_n=（2n-1）²（n∈N*）．…（5分）
b₁=1，当n≥2时，b_n-b_n-1=(

1

3

)n-1，∴b_n=b₁+（ b₂-b₁）+（ b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1=

3

2

(1-

1

3n

)，因而 b_n=

3

2

(1-

1

3n

)，n∈N*．…（7分）
∴c_n=

an

•b_n=（2n-1）•

3

2

(1-

1

3n

)，∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=

3

2

[1+3+5+…+（2n-1）-（

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

）]．
令T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

①，则

1

3

T_n=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

②…（9分）
①-②，得

2

3

T_n=

1

3

+2（

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

）-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

（1-

1

3n-1

）-

2n-1

3n+1

，…（10分）
∴T_n=1-

n+1

3n

．
又 1+3+5+…+（2n-1）=n²．…（11分）
∴S_n=

3

2

（n²-1+

n+1

3n

）．…（12分）