Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，且f（-3）=-2，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则给出下列命题：
①函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=2；      
②f（2011）=-2；
③函数y=f（x）在[-6，-4]上为减函数；      
④方程f（x）=0 在[-6，6]上有4个根，
上述命题中的所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，我们易得函数在区间[0，2]单调递减，由此我们画出函数的简图，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．

解答： 解：∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
当x=-2，可得f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x），函数周期T=4，
又∵函数y=f（x）是R上的偶函数
∴f（-2）=f（2）=0，
又由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函数在区间[0，2]单调递减
故函数f（x）的简图如下图所示：

由图可知：①x=2为图象的一条对称轴，①正确，
②f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=-2，②正确，
③函数y=f（x）在[-6，-4]上为增函数，③错误，
④方程f（x）=0 在[-6，6]上有3个根，④错误，
故答案：①②．

点评：本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误．