Question

14．如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F的直线AB交抛物线于A、B，交抛物线的准线于点C，若$\frac{{|{BF}|}}{{|{BC}|}}$=$\frac{1}{2}$，则|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由$\frac{{|{BF}|}}{{|{BC}|}}=\frac{1}{2}$，及抛物线定义求得$∠CBD=\frac{π}{3}$，进一步求得BF，作AE垂直于准线交准线于E点，设|AF|=m，则$|{AE}|=m，\frac{{|{AE}|}}{{|{AC}|}}=\frac{1}{2}$，故$\frac{m}{4+m}=\frac{1}{2}$，求得m值，则AB可求．

解答 解：如图，作BD垂直于准线交准线于D点，

由$\frac{{|{BF}|}}{{|{BC}|}}=\frac{1}{2}$，及抛物线定义可得$cos∠CBD=\frac{{|{BD}|}}{{|{BC}|}}=\frac{1}{2}，∠CBD=\frac{π}{3}$，
∴$|{CF}|=4，|{BF}|=\frac{4}{3}$，
作AE垂直于准线交准线于E点，设|AF|=m，则$|{AE}|=m，\frac{{|{AE}|}}{{|{AC}|}}=\frac{1}{2}$，
故$\frac{m}{4+m}=\frac{1}{2}$，解得m=4，
∴|AB|=|AF|+|BF|=4+$\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，关键是对抛物线定义的熟练应用，是中档题．