Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$cos2x•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故函数f（x）的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$．
综上可得，f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．