Question

16．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3ax，x＜0\\ 2{e^x}-{x^2}+2ax，x＞0\end{array}\right.$，其中a为实数．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，检验即可；
（2）结合题意得到$a=\frac{{2{e^{x_0}}}}{x_0}$，x₀＞0．设$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x}$，x＞0，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）x＞0时，f'（x）=2e^x-2x+2a，
依题意有f'（1）=2（e-1+a）=0，得a=1-e，
经验证，0＜x＜1时，f'（x）=2（e^x-x+1-e）＜0，
x＞1时，f'（x）＞0，满足极值要求．
（2）依题意，设存在f（x）=2e^x-x²+2ax（x＞0）图象上一点（x₀，y₀），
使得（-x₀，-y₀）在f（x）=x²+3ax（x＜0）的图象上，
则有$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=2{e^{x_0}}-x_0^2+2a{x_0}，\;\;\\-{y_0}={（-{x_0}）^2}+3a（-{x_0}），\;\;\end{array}\right.$
得$2{e^{x_0}}-x_0^2+2a{x_0}=-x_0^2+3a{x_0}$，
化简得：$a=\frac{{2{e^{x_0}}}}{x_0}$，x₀＞0．
设$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x}$，x＞0，则$g'（x）=\frac{{2{e^x}}}{x^2}（x-1）$，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，
则g（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
g（x）_min=g（1）=2e，
又x→0或x→+∞时，g（x）→+∞，∴g（x）∈[2e，+∞）．
所以，a≥2e时，函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．