Question

8．已知函数$f（x）=xlnx-x+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{3}a{x^3}$，令f（x）的导函数为y=g（x）．
（I）判定y=g（x）在其定义域内的单调性；
（II）若曲线y=f（x）上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为y=g（x）在（0，+∞）有两个零点，当a≤0时，不合题意，a＞0时，令h（x）=2lnx+x-1，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（I）g（x）=lnx+x-ax²（x＞0），$g′（x）=\frac{1}{x}+1-2ax=-\frac{{2a{x^2}-x-1}}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，y=g（x）在（0，+∞）上递增；
当a＞0时，由g′（x）=0，
得2ax²-x-1=0得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1+8a}}}{4a}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+8a}}}{4a}$且x₁＜0，x₂＞0，
在（0，x₂）上g′（x）＞0，g（x）递增，在（x₂，+∞）上g′（x）＜0，g（x）递减．
（II）为使曲线y=f（x）上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，
则y=g（x）在（0，+∞）有两个零点，
当a≤0时，y=g（x）在（0，+∞）上递增，不合题意，
∴a＞0则g（x₂）＞0，即$ln{x_2}+{x_2}-ax_2^2＞0$，
又$2ax_2^2-{x_2}-1=0$，得$ax_2^2=\frac{{{x_2}+1}}{2}$，∴$ln{x_2}+{x_2}-\frac{{{x_2}+1}}{2}＞0$，∴2lnx₂+x₂-1＞0，
令h（x）=2lnx+x-1，$h′（x）=\frac{2}{x}+1＞0$，h（x）为增函数，又h（1）=0，
∴x₂＞1，$2a=\frac{{{x_2}+1}}{x_2^2}=\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}={（{\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$，
∵$0＜\frac{1}{x_2^2}＜1$，∴0＜2a＜2，∴0＜a＜1，
此时$g（{\frac{1}{e}}）=\frac{{-{e^2}+e-{a^2}}}{e^2}＜0$，
令r（x）=lnx-（x-1）得$r′（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
当x∈（1，+∞）时r′（x）＜0，r（x）递减，r（x）=lnx-（x-1）＜r（1）=0⇒lnx＜x-1，
g（x）=lnx+x-ax²＜2x-ax²-1＜2x-ax²，
必存在x∈（x₂，+∞）使g（x）＜0，y=g（x）在（0，+∞）有两个零点，
综上0＜a＜1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．