Question

17．设f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$，g（x）=ax+5-2a（a＞0），若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [4，+∞）
• B． （0，$\frac{5}{2}$]
• C． [$\frac{5}{2}$，4]
• D． [$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 先对函数f（x）分x=0和x≠0分别求函数值，综合可得其值域，同样求出函数g（x）的值域，把两个函数的函数值相比较即可求出a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2x}^{2}}{x+1}$，
当x=0时，f（x）=0，
当x≠0时，f（x）=$\frac{2}{{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{1}{4}}$，
由0＜x≤1，∴0＜f（x）≤1．
故0≤f（x）≤1
又因为g（x）=ax+5-2a（a＞0），且g（0）=5-2a，g（1）=5-a．
故5-2a≤g（x）≤5-a．
所以须满足 $\left\{\begin{array}{l}{5-2a≤0}\\{5-a≥1}\end{array}\right.$，
∴$\frac{5}{2}$≤a≤4，
故选：C．

点评 本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，是对知识点的综合考查．