Question

12．已知函数$f（x）=sinx•sin（{x+\frac{π}{6}}）$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，且$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}，a=2$，求△ABC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）先化简函数，再求f（x）的单调递增区间；
（2）先求出A，求出bc的最大值，再求△ABC的最大面积．

解答 解：（1）$f（x）=sinx•sin（{x+\frac{π}{6}}）=sinx•（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{sin^2}x+\frac{1}{2}sinxcosx$
=$\frac{1-cos2x}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}sin2x×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，
得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ（{k∈Z}）$．
∴f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ}]（{k∈Z}）$．
（2）由$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，得$\frac{1}{2}sin（{2A-\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$sin（{2A-\frac{π}{3}}）=0$，∴$2A-\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，∴$A=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
又∵$0＜A＜\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{π}{6}$，
∴$4={b^2}+{c^2}-2bc•cos\frac{π}{6}≥2bc-2bc•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=（{2-\sqrt{3}}）bc$．
∴$bc≤\frac{4}{{2-\sqrt{3}}}=4（{2+\sqrt{3}}）$，当且仅当b=c时取“=”．
∴${（{{S_{△ABC}}}）_{max}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×4（{2+\sqrt{3}}）×\frac{1}{2}=2+\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数知识的运用，考查余弦定理、基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．