Question

13．对于任何集合S，用|S|表示集合S中的元素个数，用n（S）表示集合S的子集个数，若A、B、C是三个有限集，且满足条件：①|A|=|B|=2016；②n（A）+n（B）+n（c）=n（A∪B∪C），则|A∩B∩C|的最大值是2015．

Answer 1

分析 由已知结合集合子集个数与元素间的关系可得n（A）=n（B）=2²⁰¹⁶，再由n（A）+n（B）+n（c）=n（A∪B∪C），得2²⁰¹⁷+n（C）=n（A∪B∪C），进一步得到
n（C）=2²⁰¹⁷，n（A∪B∪C）=2²⁰¹⁸，由此可得|C|=2017，|A∪B∪C|=2018，则有2016≤|A∪B|≤2018，然后分类讨论求得|A∩B∩C|的可能取值只有2015，2014，2013三种，最大值为2015．

解答 解有k个元素的子集个数为2^k，而|A|=|B|=2016，
∴n（A）=n（B）=2²⁰¹⁶，
∴n（A）+n（B）+n（c）=2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁶+n（C）=2²⁰¹⁷+n（C），
由已知n（A）+n（B）+n（c）=n（A∪B∪C），
∴2²⁰¹⁷+n（C）=n（A∪B∪C），
其中n（C）与n（A∪B∪C）均为2的整数次幂，
∴n（C）=2²⁰¹⁷，n（A∪B∪C）=2²⁰¹⁸，
∴|C|=2017，|A∪B∪C|=2018，
也就是说，（A∪B∪C）除了包含C的2017个元素外，还包含一个属于A∪B而不属于C的元素，
不妨用m表示它．
则2016≤|A∪B|≤2018，
下面分三种情况讨论：
当|A∪B|=2016时，|A∩B|=2016，|A∩B∩C|=2015（此时A=B，A∩B∩C就是A去掉元素m）；
当|A∪B|=2017时，|A∩B|=2015，|A∩B∩C|=2015（元素m不在A∩B中）或2014（元素m在A∩B中）；
当|A∪B|=2018时，|A∩B|=2014，|A∩B∩C|=2014（元素m不在A∩B中）或2013（元素m在A∩B中）．
综上可知，|A∩B∩C|的可能取值只有2015，2014，2013三种，最大值为2015．
故答案为：2015．

点评 本题考查交集与并集的混合运算，考查了集合的元素个数与集合子集间的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大．