Question

4．（1）在复平面内复数z₁=1+2i，z₂=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$i，z₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₄=-2+i对应的四点是否在同一个圆上，并证明你的结论；
（2）实数m取什么值时，复平面内表示复数z=（m²-8m+15）+（m²-5m-14）i的点位于第四象限．

Answer 1

分析 （1）利用四个复数的模相等，说明这些点均在以原点为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上即可．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-8m+15＞0}\\{{m}^{2}-5m-14＜0}\end{array}\right.$，化简解出即可得出．

解答 解：（1）四点共圆．在复平面内复数z₁=1+2i，z₂=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$i，z₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₄=-2+i，
∵|z₁|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，同理可得：|z₂|=|z₃|=|z₄|=$\sqrt{5}$．
∴在复平面内复数z₁=1+2i，z₂=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$i，z₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₄=-2+i对应的四点都在以原点为圆心、$\sqrt{5}$为半径的同一个圆上．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-8m+15＞0}\\{{m}^{2}-5m-14＜0}\end{array}\right.$，化为$\left\{\begin{array}{l}{（m-3）（m-5）＞0}\\{（m-7）（m+2）＜0}\end{array}\right.$，
解得-2＜m＜3，或5＜m＜7．

点评 本题考查了复数的运算性质、复数模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．