Question

已知函数f（x）=

1

x

+

2

x2

+

1

x3

．
（1）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的极值点．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，利用导数大于0与小于0，判断好的单调性，求出从而求极值及单调区间；
（2）求g′（x），通过讨论a的值，导数分子的函数值的符号，判断函数的极值点求解即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-

(x+1)(x+3)

x4

．f′（x）＞0，-3＜x＜-1，f′（x）＜0，x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	Φ	极小值 - 4 27	↑	极大值0	↓	-2

∴最大值为0，最小值为-2．
（2）g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

．设u=x²+4x+3a．△=16-12a，
当a≥

4

3

时，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点．
当0＜a＜

4

3

时，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0．
减区间：（-∞，x₁），（x₂，0），（0，+∞），增区间：（x₁，x₂）．∴有两个极值点x₁，x₂．
当a=0时，g（x）=

1

x

+

2

x2

，g′（x）=-

x+4

x3

．
减区间：（-∞，-4），（0，+∞），增区间：（-4，0）．∴有一个极值点x=-4．
综上所述：a=0时，∴有一个极值点x=-4；0＜a＜

4

3

时有两个极值点x=-2±

4-3a

；a≥

4

3

时没有极值点．

点评：本题主要考查了利用导数求函数的极值，函数的单调性，一般有解求参数问题常常将参数进行分离，转化成研究已知函数在某个区间上的最值问题，属于中档题．