Question

设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数 ”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．
（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．

Answer 1

（1）
（2）所有满足题设的都是“2阶负函数”

试题分析：解：（1）依题意，在上单调递增，
故 恒成立，得，             2分
因为，所以．                        4分
而当时，显然在恒成立，
所以．                                       6分
（2）①先证：
若不存在正实数，使得，则恒成立．     8分
假设存在正实数，使得，则有，
由题意，当时，，可得在上单调递增，
当时，恒成立，即恒成立，
故必存在，使得（其中为任意常数），
这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当时，，即；            13分
②再证无解：
假设存在正实数，使得，
则对于任意，有，即有，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以无解，
综上得，即，
故所有满足题设的都是“2阶负函数”．             16分
点评：主要是考查了新定义的运用，以及函数与方程的运用，属于中档题。