Question

19．若函数f（x）=|x-1|+|2x-a|（a＞0）的最小值为2．
（1）求实数a的值；
（2）若u，v，w∈R⁺，且u+v+w=a，证明：u²+v²+w²≥2a．

Answer 1

分析 （I）化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，列方程解出a；
（II）利用柯西不等式得出结论．

解答 （Ⅰ）解：当$\frac{a}{2}$≥1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1-a，x＞\frac{a}{2}}\\{-x+a-1，1≤x≤\frac{a}{2}}\\{-3x+a+1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上单调递减，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$-1=2，解得a=6．
当$\frac{a}{2}$＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1-a，x＞1}\\{x-a+1，\frac{a}{2}≤x≤1}\\{-3x+a+1，x＜\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上单调递减，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{a}{2}$+1=2，解得a=-2（舍），
综上所述，a=6．
（Ⅱ）证明：由（I）可得u+v+w=6，
由柯西不等式得（u²+v²+w²）（1²+1²+1²）≥（u+v+w）²=36，
∴u²+v²+w²≥$\frac{36}{3}$=12=2a．
即u²+v²+w²≥2a．

点评 本题考查了分段函数的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．