Question

7．已知$sinα=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$sin（α-β）=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，则β=（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α-β），cosα，进而由sinβ=-sin[（α-β）-α]，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵$sin（α-β）=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
又∵$sinα=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，可得：cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinβ=-sin[（α-β）-α]=-sin（α-β）cosα+cos（α-β）sinα=-（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$β=\frac{π}{4}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．