Question

8．抛物线y²=2px（p＞0）上任一点Q到顶点O的距离与焦点F的距离之比是k，求k的取值范围．

Answer 1

分析 利用抛物线的参数方程，结合基本不等式，即可求k的取值范围．

解答 解：抛物线的参数方程是x=2pt²，y=2pt，抛物线上一点Q（2pt²，2pt）
则|OQ|=2pt$\sqrt{{t}^{2}+1}$，|QF|=2pt²+$\frac{1}{2}$p
k=$\frac{2pt\sqrt{{t}^{2}+1}}{2p{t}^{2}+\frac{1}{2}p}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$•$\frac{\sqrt{3}t•\sqrt{{t}^{2}+1}}{4{t}^{2}+1}$≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$×$\frac{3{t}^{2}+{t}^{2}+1}{4{t}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，在t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，即Q（p，$\sqrt{2}$p）
∴k∈[0，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$]．

点评 本题考查抛物线方程与性质，考查基本不等式的运营，正确运用抛物线的参数方程是关键．