Question

19．设M={a|a=x²-y²，x，y∈Z}，求证：
（1）2k-1∈M，k∈Z．
（2）4k-2∉M，（k∈Z）
（3）若p∈M，q∈M，则pq∈M．

Answer 1

分析 （1）易知2k-1=k²-（k-1）²，k∈Z，从而证明2k-1∈M，k∈Z；
（2）假设4k-2∈M，从而可得4k-2=x²-y²，x，y∈Z，从而可得（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，从而证明；
（3）设p=m₁²-n₁²，q=m₂²-n₂²，从而可证pq=（m₁m₂+n₁n₂）²-（m₁n₂+m₂n₁）²∈M．

解答 证明：（1）∵2k-1=k²-（k-1）²，k∈Z；
∴2k-1∈M，k∈Z．
（2）假设4k-2∈M，
那么4k-2=x²-y²，x，y∈Z，
则$\frac{1}{4}$（x²-y²）+$\frac{1}{2}$=k，
则$\frac{1}{4}$（x-y）（x+y）+$\frac{1}{2}$=k，
则（x-y）（x+y）=2k（2k+1），
又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，
∴4k-2∉M，（k∈Z）；
（3）设p=m₁²-n₁²，q=m₂²-n₂²，
则pq=（m₁²-n₁²）（m₂²-n₂²）
=（m₁m₂）²+（n₁n₂）²-（m₁n₂）²-（m₂n₁）²
=（m₁m₂+n₁n₂）²-（m₁n₂+m₂n₁）²∈M．

点评 本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．