Question

甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任取一张，用X，Y分别表示甲，乙取得的卡片上的数字．
（Ⅰ）求概率P（X＞Y）； 
（Ⅱ）设ξ=

X，X≥Y Y，X＜Y

，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（I）甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任取一张，则（X，Y）共有5×2=10种情况：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），
（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4）．其中满足X＞Y的共有4中情况，利用古典概型的概率计算公式即可得出．
（II）ξ=2时有两种情况：（2，2），（1，2），可得P（ξ=2）；ξ=3时只有一种情况：（3，2），可得
P（ξ=2）；ξ=4时有5种情况：（4，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），可得P（ξ=4）；
ξ=5时有两种情况：（5，2），（5，4），可得P（ξ=2）．再利用数学期望计算公式即可得出．

解答： 解：（I）甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任取一张，则（X，Y）共有5×2=10种情况：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4）．其中满足X＞Y的共有4中情况：（3，2），
（4，2），（5，2），（5，4）．∴P(X＞Y)=

2

5

．
（II）ξ=2时有两种情况：（2，2），（1，2），∴P（ξ=2）=

2

10

=

1

5

；
ξ=3时只有一种情况：（3，2），∴P（ξ=2）=

1

10

；
ξ=4时有5种情况：（4，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），∴P（ξ=4）=

5

10

=

1

2

；
ξ=5时有两种情况：（5，2），（5，4），∴P（ξ=2）=

2

10

=

1

5

．
列出表格：

ξ	2	3	4	5
P	1 5	1 10	1 2	1 5

∴Eξ=2×

1

5

+3×

1

10

+4×

1

2

+5×

1

5

=

37

10

，
∴Eξ=

37

10

．

点评：本题考查了古典概率的概率和数学期望的计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．