Question

3．已知函数f（x）在其定义区间[a，b]上满足①f（x）＞0；②f′（x）＜0；③对任意的x₁，x₂∈[a，b]，式子$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$≤$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立．记S₁=$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx，S₂=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$•（b-a），S₃=f（b）（b-a），则S₁，S₂，S₃的大小关系为s₃＜s₁≤s₂．（按由小到大的顺序）

Answer 1

分析 根据微积分中值定理，可判断s₃＜s₁，再由定积分的几何意义，函数的凹凸性，即可判断s₁≤s₂的大小．

解答 解：由微积分中值定理：可知若函数 f（x） 在 闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点 ξ，
使得：$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx=f（ξ）（b-a），a≤ξ≤b，
∵f′（x）＜0，f（x）在定义区间[a，b]单调递减，f（b）＜f（ξ），
∴s₃＜S₁，
对任意的x₁，x₂∈[a，b]，式子$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$≤$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，
函数图象可知：当$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$=$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$时，
由定积分的几何意义可知，S₁=$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$•（b-a）=S₂，
当$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
由函数图象可知：函数单调递减且为凹函数，根据定积分的几何意义可知：
S₁=$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx＜$\frac{f（a）+f（b）}{2}$•（b-a）=S₂，
∴s₁≤s₂．
综上可知：s₃＜s₁≤s₂．
故答案为：s₃＜s₁≤s₂．

点评 本题考查微积分中值定理和函数凹凸性的判断，利用凹凸性判断定积分的大小，过程繁琐，综合能力强，属于中档题．