Question

8．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为[$-\frac{23}{27}$，1]．

Answer 1

分析 根据条件即可得出f（x³-x²+a）≥f（1），而f（x）为偶函数，从而得出f（|x³-x²+a|）≥f（1），根据单调性即可得出|x³-x²+a|≤1，进而得出-x³+x²-1≤a≤-x³+x²+1，而x∈[0，1]．可设g（x）=-x³+x²+1，h（x）=-x³+x²-1，然后求导数，根据导数符号判断g（x），h（x）的单调性，进而得出g（x）的最小值，h（x）的最大值，从而得出a的取值范围．

解答 解：f（x）是R上的偶函数；
∴f（-x³+x²-a）=f（x³-x²+a）；
∴由f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）得，2f（x³-x²+a）≥2f（1）；
∴f（x³-x²+a）≥f（1）；
∴f（|x³-x²+a|）≥f（1）；
又f（x）在[0，+∞）上递减；
∴|x³-x²+a|≤1；
∴-1≤x³-x²+a≤1；
∴-x³+x²-1≤a≤-x³+x²+1对x∈[0，1]恒成立；
设g（x）=-x³+x²+1，h（x）=-x³+x²-1，则$g′（x）=h′（x）=-3x（x-\frac{2}{3}）$；
∴$x∈[0，\frac{2}{3}]$时，g（x），h（x）都单调递增，x$∈（\frac{2}{3}，1]$时，g（x），h（x）都单调递减；
∴h（x）的最大值为$f（\frac{2}{3}）=-\frac{23}{27}$，g（x）的最小值为f（0）=1；
∴$-\frac{23}{27}≤a≤1$；
即实数a的取值范围为$[-\frac{23}{27}，1]$．
故答案为：$[-\frac{23}{27}，1]$．

点评 考查偶函数的定义，减函数的定义，绝对值不等式的解法，以及函数导数符号和函数单调性的关系，根据函数单调性求函数最值的方法，以及恒成立问题的处理方法．