Question

12．已知△ABC中，D为BC边上一点，∠BAD=∠CAD，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． $-\frac{8}{5}$
• B． $\frac{9}{5}$
• C． $-\frac{9}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 以AD为对角线作平行四边形，在所作平行四边形为菱形，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$再计算$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$．

解答 解：以AD为对角线作平行四边形AEDF，其中E在AB上，F在AC上，
∵∠BAD=∠CAD，∴平行四边形AEDF是菱形，
设AE=AF=a，则$\overrightarrow{AE}=\frac{a}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{a}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$=$\frac{a}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{a}{2}\overrightarrow{AC}$，
∵D在BC上，∴$\frac{a}{3}+\frac{a}{2}=1$，解得a=$\frac{6}{5}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{3}{5}{\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{2}{5}{\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，
∵${\overrightarrow{AB}}^{2}$=9，${\overrightarrow{AC}}^{2}$=4，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3×2×cos$\frac{π}{3}$=3，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{5}{\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{2}{5}{\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{12}{5}-\frac{18}{5}-\frac{3}{5}$=-$\frac{9}{5}$，
故选C．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题，作出菱形AEDF是关键，属于中档题．