Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+ax+1，若实数a，b使得f（x）=0有实根，则a²+b²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：不等式的解法及应用

分析：由方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0，可知x≠0，可化为x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0．通过换元，令t=x+

1

x

，得到t²+at+b-2=0，|t|≥2．通过对a和判别式△分类讨论即可得出．

解答： 解：函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+ax+1，若实数a，b使得f（x）=0有实根
∴方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0，可知x≠0，因此方程可化为x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0．
令t=x+

1

x

，则t²+at+b-2=0，|t|≥2．
设g（t）=t²+at+b-2，（|t|≥2）．
当-

a

2

＜-2时，即a＞4，只需△=a²-4b+8≥0，此时a²+b²≥16．
当-

a

2

＞2时，即a＜-4，只需△=a²-4b+8≥0，此时a²+b²≥16．
当-2≤-

a

2

≤2时，即-4≤a≤4，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0时，此时a²+b²≥

4

5

．
∴a²+b²的最小值为

4

5

．
故答案为：

4

5

点评：本题考查了换元法和分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．