Question

6．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正三角形（实线所示，正三角形的顶点A和点P重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为（　　）

• A． π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\frac{5}{3}$π
• D． 2π

Answer 1

分析 由图可知：圆O的半径r=1，正三角形的边长a=1，以正三角形的边为弦时所对的圆心角为$\frac{π}{3}$，当点A首次回到点P的位置时，正三角形滚动了6次，分别算出转3次的长度，即可得出．

解答 解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正三角形的边长a=1，
∴以正三角形的边为弦时所对的圆心角为$\frac{π}{3}$，
∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了共6次，
设第i次滚动，点A的路程为A_i，
则A₁=$\frac{π}{3}$×|AB|=$\frac{π}{3}$，
A₂=$\frac{π}{3}$×|AO|=$\frac{π}{3}$，
A₃=0，
∴点A所走过的路径的长度为2（A₁+A₂+A₃）=$\frac{4π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．