Question

已知函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）．
（1）试求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）解关于x的不等式f（x）≥log_a（3x）．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数函数的性质确定函数的定义域．
（2）根据奇函数的定义判断即可．
（3）根据对数函数的单调性和对数的运算性质，进行分类讨论，即可

解答： 解：（1）要是函数有意义，则

2+x＞0 2-x＞0

，
解得-2＜x＜2，
故函数f（x）的定义域为（-2，2）
（2）f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[log_a（2+x）-log_a（2-x）]=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数
（3）∵f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）=loga

2+x

2-x

，f（x）≥log_a（3x）．
∴loga

2+x

2-x

≥log_a（3x），0＜x＜2
当0＜a＜1时，

2+x

2-x

≤3x，解得

2

3

≤x≤1，
当a＞1时，

2+x

2-x

≥3x，解得1≤x＜2，或0＜x≤

2

3

，

点评：本题主要考查对数函数的性质和运算及不等式的解法，要求熟练掌握对数函数的图象和性质是关键．