Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，若AB＝2，AA₁＝1，则点A到平面A₁BC的距离为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

Answer 1

　B

[解析]　解法1：取BC中点E，连接AE、A₁E，过点A作AF⊥A₁E，垂足为F.

∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁A⊥BC，

∵AB＝AC.∴AE⊥BC.

∴BC⊥平面AEA₁.

∴BC⊥AF，又AF⊥A₁E，

∴AF⊥平面A₁BC.

∴AF的长即为所求点面距离．

AA₁＝1，AE＝，∴AF＝.

解法2：VA₁－ABC＝S_△ABC·AA₁＝××1＝.

又∵A₁B＝A₁C＝，

在△A₁BE中，A₁E＝＝2.

∴S△A₁BC＝×2×2＝2.

∴VA－A₁BC＝×S△A₁BC·h＝h.

∴h＝，∴h＝.

∴点A到平面A₁BC距离为.

解法3：设BC中点为O，∵△ABC为正三角形，

∴AO⊥BC，

以O为原点，直线AO，BC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A(－，0,0)，A₁(－，0,1)．

设n＝(x，y,1)为平面A₁BC的一个法向量，则