Question

过A（-4，0）、B（0，-3）两点作两条平行线，求分别满足下列条件的方程：
（1）两平行线间距离为4；
（2）这两条直线各绕A，B旋转，使它们之间的距离取最大值．

Answer 1

考点：两条平行直线间的距离,旋转变换

专题：直线与圆

分析：（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为x=-4，x=0，满足题意；当两直线的斜率存在时，设方程分别为y=k（x+4）与y=kx-3，由题意：

|4k+3|

k2+1

=4．由此能求出所求的直线方程．
（2）当两直线的斜率存在时，d=

|4k+3|

k2+1

=4，当两直线的斜率不存在时，d=4．由此能求出两直线的方程．

解答： 解：（1）当两直线的斜率不存在时，
方程分别为x=-4，x=0，满足题意；
当两直线的斜率存在时，设方程分别为y=k（x+4）与y=kx-3，
即：kx-y+4k=0与kx-y-3=0，
由题意：

|4k+3|

k2+1

=4，解得k=

7

24

，
所以，所求的直线方程分别为：7x-24y+28=0，7x-24y-72=0．
综上：所求的直线方程分别为：x=-4，x=0，或7x-24y+28=0，7x-24y-72=0．
（2）由（1）当两直线的斜率存在时，
d=

|4k+3|

k2+1

=4，∴（d²-16）k²-24k+d²-9=0，
∵k∈R，∴△≥0，即d⁴-25d²≤0，
∴d²≤25，∴0＜d≤5，∴d_max=5，
当d=5，k=

4

3

．
当两直线的斜率不存在时，d=4，∴d_max=5，
此时两直线的方程分别为4x-3y+16=0，4x-3y-9=0．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．