某学校实行自主招生.参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答.至少答对3个才能通过初试．已知甲.乙两人参加初试.在这8个试题中甲能答对6个.乙能答对每个试题的概率为$\frac{3}{4}$.且甲.乙两人是否答对每个试题互不影响．(Ⅰ)求甲通过自主招生初试的概率,(Ⅱ)试通过概率计算.分析甲.乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大,(Ⅲ)记� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为$\frac{3}{4}$，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；
（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．

分析（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出甲通过自主招生初试的概率．
（Ⅱ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求出乙通过自主招生初试的概率，从而得到甲通过自主招生初试的可能性更大．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，分别出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．

解答解：（Ⅰ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，
在这8个试题中甲能答对6个，
∴甲通过自主招生初试的概率$P=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}+\frac{C_6^4}{C_8^4}=\frac{11}{14}$．…（3分）
（Ⅱ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．
在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为$\frac{3}{4}$，
∴乙通过自主招生初试的概率$P'=C_4^3{（{\frac{3}{4}}）^3}（{\frac{1}{4}}）+{（{\frac{3}{4}}）^4}=\frac{189}{256}$；
∵$\frac{11}{14}＞\frac{189}{256}$，∴甲通过自主招生初试的可能性更大．…（7分）
（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，
$P（{X=2}）=\frac{C_6^2C_2^2}{C_8^4}=\frac{3}{14}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$，
$P（{X=4}）=\frac{C_6^4}{C_8^4}=\frac{3}{14}$，
∴X的概率分布列为：

X	2	3	4
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{14}$

∴$E（X）=2×\frac{3}{14}+3×\frac{4}{7}+4×\frac{3}{14}=3$．…（12分）

点评本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础苦衷知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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