Question

10．若f′（x）是f（x）的导函数，f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（$\frac{1}{2}$）=e，则f（lnx）＜x²的解集为（　　）

• A． （0，$\frac{e}{2}$）
• B． （$\frac{e}{2}$，$\sqrt{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，$\frac{e}{2}$）
• D． （0，$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 构造函数F（x），求出导数，判断F（x）在R上的单调性．原不等式等价为F（lnx）＜F（$\frac{1}{2}$），运用单调性，可得lnx＜$\frac{1}{2}$，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：可构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}$，
由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增，
∵f（$\frac{1}{2}$）=e，
∴F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{e}{e}$=1，
∵不等式f（lnx）＜x²，
∴$\frac{f（lnx）}{{x}^{2}}$＜1，即$\frac{f（lnx）}{{e}^{ln{x}^{2}}}$＜1，（x＞0），
∴F（lnx）＜1=F（$\frac{1}{2}$），
∴lnx＜$\frac{1}{2}$=ln$\sqrt{e}$，
∴0＜x＜$\sqrt{e}$，
故不等式的解集为（0，$\sqrt{e}$）
故选：D

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题