Question

【题目】设分别为椭圆的左右两个焦点.

（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；

（2）设点是（1)中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：如果是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值，请给予证明.

Answer 1

【答案】(1)方程为,焦点.(2) ；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）先利用椭圆的定义及点在椭圆上求出椭圆的标准方程，再利用几何元素间的关系求出焦点坐标；（2）利用相关点法求出动点轨迹即可；（3）设，则，再设，利用点在椭圆上（， ）和斜率公式进行求解.

试题解析：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4,得，即.

又点在椭圆上，因此，于是.

所以椭圆的方程为,焦点.

（2）设椭圆上的动点为，线段的中点，∴.

因此，即为所求的轨迹方程.

（3）设，则，再设从而.

由在已知椭圆上，

故可解得， ，带入中，

化简有.即与之之积是与点位置无关的定值.