Question

已知函数f（x）=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1且a为常数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性；
（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值,对数函数的定义域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数成立的条件，即可求函数f（x）的定义域；
（2）若a=2，根据单调性定义即可确定函数f（x）的单调性；
（3）若函数y=f（x）是增函数，根据复合函数单调性之间的关系，分别讨论即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则ax-

x

＞0，且x≥0，
即x＞

1

a2

，即函数f（x）的定义域{x|x＞

1

a2

}；
（2）若a=2，则f（x）=log₂（2x-

x

），
则函数的定义域为{x＞

1

4

}
设

1

4

＜x1＜x2，
设g（x）=2x-

x

，
则g(x1)-g(x2)=2x1-

x1

-2x2+

x2

=2(x1-x2)(2-

1

x1 + x2

)，
∵

1

4

＜x1＜x2，
∴x₁-x₂＜0，

1

2

＜

x1

＜

x2

，
∴

x1

+

x2

＞1，0＜

1

x1 + x2

＜1，
∴g(x1)-g(x2)=2(x1-x2)(2-

1

x1 + x2

)＜0，
即函数g（x）=2x-

x

单调递增，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知函数f（x）的单调递增．
（3）若函数y=f（x）是增函数，
若a＞1，设m（x）=ax-

x

，则m（x）在定义域{x|x＞

1

a2

}上单调递增，
∴m'（x）=a-

1

2 x

≥0，
即a≥

1

2 x

在x＞

1

a2

上恒成立，
∵当x＞

1

a2

时，

1

2 x

＜

1

2 1 a2

=

a

2

，此时a＞

a

2

恒成立．
若0＜a＜1，设m（x）=ax-

x

，则m（x）在定义域{x|x＞

1

a2

}上单调递减
∴m'（x）=a-

1

2 x

≤0，
即a≤

1

2 x

在x＞

1

a2

上恒成立，
∵当x＞

1

a2

时，

1

2 x

＜

1

2 1 a2

=

a

2

，此时a＜

a

2

不成立．
综上a＞1．

点评：本题主要考查复合函数的单调性以及对数的性质的综合应用，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大．