Question

已知函数，．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．

Answer 1

(1) 函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，
(2)    (3)构造函数证明.

解析试题分析：(1)当时，函数，则．
当时，，当时，1，
则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，．
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而．
(3)，．
因为对任意的总存在，使得成立，
所以，即，
即
．
设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又．所以，即．
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
点评：本题是中档题，考查函数的导数的应用，不等式的综合应用，考查计算能力，转化思想的应用．