Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．
（1）若弦PQ过焦点F，求证：$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$为定值；
（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$为定值；
（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，点N在x轴的负半轴上，且满足$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，求N点坐标．

Answer 1

分析 （1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁x₂的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；
（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；
（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．

解答 （1）证明：抛物线的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），设直线PQ的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），
代入抛物线方程，消去y，得k²x²-p（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
由根与系数的关系，得x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，x₁+x₂=p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$，
由抛物线的定义，知|FP|=x₁+$\frac{p}{2}$，|FQ|=x₂+$\frac{p}{2}$．$\frac{1}{|FP|}$+$\frac{1}{|FQ|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$
=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+{（x}_{1}+{x}_{2}）\frac{p}{2}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2p（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{{p}^{2}（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}$=$\frac{2}{p}$为定值．
当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；
（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y²=2pm，
|MP|=|MQ|=$\sqrt{2pm}$，有$\frac{1}{|MP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|MQ{|}^{2}}$为定值$\frac{1}{pm}$．
当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，
y²-2pty-2pm=0，设P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂）
则y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm．
即有|MP|²=（m-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$）²+y₁²=$\frac{（-{y}_{1}{y}_{2}-{{y}_{1}}^{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁²=（1+t²）y₁²，
同理|MQ|²=（m-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$）²+y₂²=（1+t²）y₂²．
即有$\frac{1}{|MP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|MQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{4{p}^{2}{t}^{2}+4pm}{4{p}^{2}{m}^{2}}$，
存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{4{p}^{2}（1+{t}^{2}）}{4{p}^{4}}$=$\frac{1}{{p}^{2}}$为定值；
（3）解：$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，可得$\overrightarrow{NM}$=$\frac{\overrightarrow{NP}+λ\overrightarrow{NQ}}{1+λ}$，
$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，可得（$\overrightarrow{NP}$+λ$\overrightarrow{NQ}$）•（$\overrightarrow{NP}$-λ$\overrightarrow{NQ}$）=0，
即为NP²=λ²NQ²，
由P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），M（p，0），设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，
则y₁=-λy₂，①p-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$-p），②
又设N（n，0）（n＜0），则（n-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$）²+y₁²=λ²[（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$-n）²+y₂²]，
即为$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$-n=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$-n），③
将①平方可得，y₁²=λ²y₂²，④，
将④代入②③，化简可得n=-p．
则N（-p，0）．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．