Question

已知在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥面DBE；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-DBE的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）利用等体积转换，即可求三棱锥B₁-DBE的体积．

解答： （Ⅰ）证明：如图，连接AC交BD于点F，连接EF，
则由题在△ACC₁中，EF是两边CC₁、AC上的中位线，
∴EF∥AC₁…（4分）
又∵EF?面DBE
∴AC₁∥面DBE…（6分）
（Ⅱ）解：由题VB1-DBE=VD-B1BE…（8分）
而在三棱锥D-B₁BE中，S△B1BE=

1

2

×2×2=2，高为正方体的棱长，
∴VD-B1BE=

1

3

SB1BE×h=

1

3

×2×2=

4

3

=VB1-DBE，即VB1-DBE=

4

3

．…（12分）

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定定理，考查锥体体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．